Producto Notable

*Binomio al cuadrado:

Es la multiplicación de un binomio por sí mismo, expresada en forma de potencia, donde los términos son sumados o restados:

a. Binomio de suma al cuadrado: es igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Se expresa de la siguiente manera:

(a + b)² = (a + b) _* (a + b).

En la figura siguiente se puede observar cómo se desarrolla el producto según la regla mencionada. El resultado es llamado de trinomio de un cuadrado perfecto.

Ejemplo 1

(x + 5)² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5)² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5)² = x² + 10x+ 25.

b. Binomio de una resta al cuadrado: se aplica la misma regla del binomio de una suma, solo que en este caso el segundo término es negativo. Su fórmula es la siguiente:

(a – b)² = [(a) + (- b)]²

(a – b)² = a² +2a _* (-b) + (-b)²

(a – b)²   = a² – 2ab + b².

Ejemplo 1

(2x – 6)² = (2x)² – 2 (2x _* 6) + 6²

(2x – 6)²  = 4x² – 2 (12x) + 36

(2x – 6)² = 4x² – 24x + 36.

*Producto de binomios conjugados:

Dos binomios son conjugados cuando los segundos términos de cada uno son de signos diferentes, es decir, el del primero es positivo y el del segundo negativo o viceversa. Se resuelve elevando cada monomio al cuadrado y se restan. Su fórmula es la siguiente:

(a + b) _* (a – b)

En la siguiente figura se desarrolla el producto de dos binomios conjugados, donde se observa que el resultado es una diferencia de cuadrados.

Ejemplo 1

(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b²)

(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a² – 9b².

*Producto de dos binomios con un término común:

Es uno de los productos notables más complejos y poco utilizados porque se trata de una multiplicación de dos binomios que tienen un término en común. La regla indica lo siguiente:

·         El cuadrado del término común.

·         Más la suma los términos que no son comunes y luego multiplicarlos por el término común.

·         Más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.

Se representa en la fórmula: (x + a) _* (x + b) y es desarrollada como se muestra en la imagen. El resultado es un trinomio cuadrado no perfecto.

*Polinomio al cuadrado:

En este caso existen más de dos términos y para desarrollarlo, cada uno se eleva al cuadrado y se suman junto con el doble de la multiplicación de un término con otro; su fórmula es: (a + b + c)2 y el resultado de la operación es un trinomio al cuadrado.

Ejemplo 1

(3x + 2y + 4z)² = (3x)² + (2y)² + (4z)² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)² = 9x² + 4y² + 16z² + 12xy +24xz + 16yz.

*Binomio al cubo:

Es un producto notable complejo. Para desarrollarlo se multiplica el binomio por su cuadrado, de la siguiente manera:

a. Para el binomio al cubo de una suma:

• El cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primer término por el segundo.
• Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
• Más el cubo del segundo término.

(a + b)³ = (a + b) _* (a + b)²

(a + b)³ = (a + b) _* (a² + 2ab + b²)

(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Ejemplo 1

(a + 3)³ = a³ + 3(a)²_*(3) + 3(a)_*(3)² + (3)³

(a + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3(a)_*(9) + 27

(a + 3)³ = a³ + 9 a² + 27a + 27.

b. Para el binomio al cubo de una resta:

• El cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo.
• Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
• Menos el cubo del segundo término.

(a – b)³ = (a – b) _* (a – b)²

(a – b)³ = (a – b) _* (a² – 2ab + b²)

(a – b)³ = a³ – 2a²b + ab² – ba² + 2ab² – b³

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Ejemplo 2

(b – 5)³ = b³ + 3(b)²_*(-5) + 3(b)_*(-5)² + (-5)³

(b – 5)³ = b³ + 3(b)²_*(-5) + 3(b)_*(25) -125

(b – 5)³ = b³ – 15b² +75b – 125.

*Cubo de un trinomio:

Se desarrolla multiplicándolo por su cuadrado. Es un producto notable muy extenso porque se tienen 3 términos elevados al cubo, más el triple de cada término elevado al cuadrado, multiplicado por cada uno de los términos, más seis veces el producto de los tres términos. Visto de una mejor forma:

(a + b + c)³ = (a + b + c) _* (a + b + c)²

(a + b + c)³ = (a + b + c) _* (a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)³ =  a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc.